Rangkuman Materi Himpunan dalam Matematika

A. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Anggota himpunan disebut anggota atau elemen himpunan.

Contoh:
1. A adalah himpunan nama kota di Jawa Tengah. Anggota himpunan A adalah Purwokerto, Semarang, Kebumen, Solo, dan lain-lainnya.

2. B adalah himpunan bilangan bulat lebih dari -3. Anggota himpunan B adalah bilangan -2,-1,0,1,2,3, ...

B. Notasi Himpunan

Penulisan himpunan ditandai dengan adanya kurung kurawal {}. Penulisan himpunan berkelanjutan dituliskan menggunakan tanda titik sebanyak tiga buah (...) untuk mengganti anggota himpunan lain yang tidak dapat dituliskan satu persatu. Anggota atau elemen suatu himpunan dinyatakan dengan notasi 
Bila bukan anggota himpunan dinyatakan dengan notasi   .

Misalkan A adalah suatu himpunan, maka bilangan yang menyatakan banyak anggota himpunan A disebut bilangan kardinal. Banyaknya anggota suatu himpunan A dituliskan dengan n(A).

Misalnya, himpunan A = {1,2,3,4,5,6}, maka banyaknya himpunan A atau n(A) = 6.

C. Menyatakan Suatu Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu:

1. Deskripsi

Menyatakan suatu himpunan dengan kata-kata atau hanya menyebutkan sifat keanggotaannya saja.
Contoh:

• A = {nama kota yang berawalan huruf B}
• B = {bilangan asli kurang dari 10}

2. Tabulasi atau Roster

Menyatakan suatu himpunan dengan mendaftar anggota-anggotanya satu persatu.

Contoh:

• A ={Bandung, Bogor, Banjar}
• B = {1,2,3,4,5,6,7.8.9}

3. Rule

Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan.

Contoh:

• 
• 

D. Himpunan Bagian

Bilangan ada bermacam-macam. Diantaranya, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan genap, dan lain-lain. Dalam himpunan penulisan bilangan-bilangan tersebut sebagai berikut:

1. Himpunan bilangan asli dilambangkan A (R). Dengan demikian, A = {1,2,3,4,5,...}
2. Himpunan bilangan cacah dilambangkan C. Dengan demikian, C = {0,1,2,3,4,5,...}
3. Himpunan bilangan bulat dilambangkan B. Dengan demikian B ={...,-2,-1,0,1,2,...}
4. Himpunan bilangan prima adalah bilangan yang memiliki tepat dua faktor, yaitu satu dan bilangan itu sendiri. Himpunan bilangan prima dilambangkan dengan P. Dengan demikian, P = {2,3,5,7,11,13,17,19, ...}
5. Himpunan bilangan genap dilambangkan G. Dengan demikian, G = {0,2,4,6,8,10, 12, ...}

E. Jenis-jenis Himpunan

Himpunan ada bermacam-macam. Misalnya, himpunan nol, himpunan kosong, himpunan berhingga, himpunan tak berhingga, himpunan sama, himpunan ekuivalen, dan himpunan semesta.

1. Himpunan Nol dan Himpunan Kosong

Himpunan nol adalah himpunan yang hanya memiliki satu anggota yaitu nol. Himpunan nol dilambangkan dengan {0}. Contoh: himpunan bilangan cacah yang anggotanya kurang dari satu, anggotanya hanya satu yaitu 0.

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dilambangkan {} atau .
Contoh:

• himpunan mahluk hidup yang tidak memerlukan oksigen.
• himpunan bilangan negatif lebih dari satu.

2. Himpunan Terhingga dan Tidak Terhingga 

Himpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dihitung. Contoh: himpunan bilangan cacah kurang dari 5, yaitu {0,1,2,3,4} dengan banyak anggota 5. 

Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya tidak dapat dihitung. Contoh: himpunan bilangan bulat.

3. Himpunan Sama dan Himpunan Ekuivalen.

Himpunan A dan B dikatakan himpunan sama bila setiap anggota himpunan A dan B adalah sama, dituliskan A = B.

Contoh:

• C = {d,a,p,u,r}
• D = {p,u,d,a,r}

Setiap anggota himpunan C merupakan anggota himpunan D, berlaku sebaliknya. Dengan demikian, himpunan C = D.

Himpunan P dan Q dikatakan ekuivalen jika banyaknya anggota P sama dengan banyaknya anggota himpunan Q atau n(P) = n(Q), dituliskan .
Contoh:

• R = {1,2,3,4,5}, n(R) = 5
• S = {a,i,u,e,o}, n(S) = 5

Karena n(R) = n(S), maka himpunan R ekuivalen dengan himpunan S atau 

4. Himpunan Semesta

Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat seluruh anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga himpunan universum, yang dilambangkan S.
Contoh:
A = {-2,-1,0,1,2}. Berarti himpunan semesta untuk A adalah S ={bilangan bulat}, atau S = {bilangan bulat kurang dari 3}

F. Himpunan bagian

Himpunan bagian disebut juga subset. Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B, bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota B. Sebaliknya, setiap anggota himpunan B belum tentu anggota himpunan A. Himpunan A merupakan himpunan bagian B dinotasikan .

Bila n(A) merupakan banyaknya anggota himpunan A, berarti banyaknya himpunan bagian dari A adalah: